SECCIÓN CÓNICA: Parábola

La parábola se puede definir como el lugar geométrico de los puntos de un plano que equidistan de un punto fijo y de una recta fija. Al punto fijo lo llamamos foco, y la recta fija es la directriz.

Elementos de una parábola

F es el foco y D1 D2 es la directriz. La recta que pasa por F y es perpendicular a la directriz es llamada Eje de la parábola. El punto V es el vértice, El segmento de recta B1B2 o cualquier otro que une dos puntos de la parábola es nombrado cuerda, una cuerda que pasa por F como C1C2 se llamará cuerda focal. La cuerda focal E1E2 es perpendicular al eje y recibe el nombre de lado recto (latus rectum).

Ecuación Orinaria de parábolas verticales y horizontales con vértice en el origen

La ecuación canónica de una parábola se obtiene cuando su eje coincide con uno de los ejes coordenados y su vértice está en el origen: Sea el eje x la recta que pasa por el foco y es perpendicular a la directriz, es decir, el eje de la parábola.

Si la distancia entre la directriz y el foco la designamos por 2a, entonces las coordenadas del foco son (a, 0) y las del punto A son (2a, 0), ver figura 6.3. Cualquier punto P (x, y) de la parábola está a la misma distancia del foco y de la directriz, esta condición geométrica se establece de la siguiente manera:

Elevando al cuadrado los dos miembros de la igualdad, se obtiene:

Ésta es la ecuación de una parábola cuyo vértice está en el origen y su foco se encuentra en (a, 0). Si como se ilustra en la figura 6.3, a . 0, entonces x puede tomar cualquier valor real no negativo, por
lo que se dice que la curva abre hacia la derecha. La ecuación de la directriz es x 5 2a. Las coordenadas de los extremos del lado recto de la parábola se pueden determinar sustituyendo a por x en la ecuación y2 5 4ax, quedando:

Por tanto, los extremos del lado recto tienen como coordenadas (a, 2a) y (a, 22a). De donde se deduce que la longitud del lado recto es igual al valor absoluto de 4a.

Existencia de una parábola conocidos: vértice, foco y directriz

Todos los puntos de una parábola equidista de un punto fijo y de una recta fija, de tal manera que cuando se conoce su vértice, su foco y su directriz, la parábola queda determinada.

Ecuación de parábolas verticales y horizontales con vértice en el origen

Conociendo el vértice y los extremos del lado recto, es posible trazar un bosquejo de la parábola.

Si la ecuación es diferente al vértice de origen, entonces x puede tomar cualquier valor real y se dice que la curva abre hacia la izquierda, la ecuación de la directriz es igual a x=-a

Si el vértice está en el punto de origen, y su eje coincide con el eje y, se puede demostrar que la ecuación es:

x(2) =4ay

La ecuación de una parábola, con vértice en el origen y cuyo eje coincide con el eje x, se expresa y(2)= 4ax

Ejemplo:

Paso a paso en geogebra

PARABOLA

Paso 1 Marcar el foco